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Islantilla - Sevilla, 18 de Octubre del 2006 - 21 de Octubre del 2006

SESIONES

SESIONES ORGANIZATIVAS
Reunión de Coordinadores, Comites y Responsables de Grupo
Sesión Plenaria de Organización y Planificación de la Red Temática

 

SESIONES CIENTÍFICAS
Revisión de ANCE (Atractores no caóticos extraños)
Àngel Jorba (Universitat de Barcelona)
Aspectos computacionales y semianalíticos en dinámica de fluidos
Juan Sánchez (Universitat Politècnica de Catalunya)
Despliegue y bifurcaciones de equilibrios degenerados
Santiago Ibáñez (Universidad de Oviedo)
Dinámica molecular
Florentino Borondo (Universidad Autónoma de Madrid)
Singularidades en ecuaciones diferenciales resurgencias
Felipe Cano Torres (Universidad de Valladolid)
Experimentación y aplicaciones
Enrique Ponce (Universidad de Sevilla)

 


Sesión 1: Revisión de ANCE (Atractores no caóticos extraños)
Responsable: Àngel Jorba (Universitat de Barcelona)

Conferencias
  • Fractalización y ANCE
    Joan Carles Tatjer (Universitat de Barcelona)
  • En la charla presentaremos resultados sobre la fractalización de curvas invariantes en en sistemas dinámicos 1-D forzados casi-periódicamente. Veremos que, en algunos casos, la curva persiste como curva regular siempre que el exponente de Lyapunov sea negativo, a pesar de que las simulaciones numéricas parecen indicar la presencia de un ANCE. Este fenómeno cuestiona la existencia de algunos de los ANCEs obtenidos numéricamente por diversos autores.

  • Bifurcaciones Pitchfork y SNAs(=ANCEs)
    Francisco Javier Muñoz Almaraz (U. Cardenal Herrera - CEU)
  • Recientemente se han conseguido probar la existencia de ANCEs en el marco de los fenómenos de bifurcación en sistemas dinámicos discretos unidimensionales acoplados con un forzamiento casi-periódico (conocido como skew-product). Sin embargo, escasean los resultados sobre los diferentes tipos de bifurcaciones y la posible persistencia de curvas invariantes. Aquí presentamos resultados sobre la persistencia de una bifurcación de tipo pitchfork para curvas invariantes bajo condiciones de analiticidad.

  • Hiperbolicidad no uniforme y ANCEs en la recta real
    Carmen Nuñez Jimenez (Universidad de Valladolid)
  • Establecemos condiciones asegurando la existencia de ANCEs reales para cierto tipo de sistemas bidimensionales de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en diferencias con coeficientes casi-periódicos. Tales condiciones, consistentes en la hiperbolicidad no uniforme de los sistemas y en ciertas propiedades espectrales, se basan en la relación existente entre ANCEs y aquellos conjuntos minimales que son casi-automórficos pero no casi-periódicos.

  • Lo que he aprendido sobre ANCES desde los DDays2003
    Lluís Alsedà (Universitat Autònoma de Barcelona)
  • En la charla se discutirán algunos aspectos metodológicos relacionados con la definición de ANCE así como algunos problemas y modelos concretos en lo que estamos trabajando. En particular un modelo en el espíritu de los estudiados por Nisikawa y Kaneko, substituyendo la aplicación logística (diferenciable) por la tienda (diferenciable en dos trozos).

  • Los ANCEs y el DANCE
    Àngel Jorba (Universitat de Barcelona)
  • Las charlas de esta sesión ponen de relieve (una parte de) la actividad científica generada a raíz de la reunión fundacional del DANCE en Salou (2003). En esta charla se repasarán algunos de los problemas que se plantearon entonces y como la colaboración entre diversos grupos ha permitido avanzar en el conocimiento de los ANCEs.

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Sesión 2: Aspectos computacionales y semianalíticos en dinámica de fluidos
Responsable: Juan Sánchez (Universitat Politècnica de Catalunya)

Conferencias
  • El límite de viscosidad pequeña en el estudio de ondas de Faraday
    José Manuel Vega de Prada (Universidad Politécnica de Madrid)
  • Cuando se hace oscilar verticalmente un recipiente con líquido, éste puede permanecer en reposo en ejes ligados al recipiente, pero tal estado es inestable a partir de un valor crítico de la aceleración, dando lugar a ondas superficiales. Éstas reciben el nombre de Faraday (1831). Posteriormente fueron analizadas, entre otros, por Rayleigh (1873), y se han convertido en paradigma de sistema de formación de patrones que, además, tiene un considerable interes intrínseco desde el punto de vista puramente fluido dinámico. Dependiendo de la frecuencia de excitación, la viscosidad, la tensión superficial y la gravedad, el estudio de estas ondas requiere analizar una variedad de límites distinguidos, que conducen a ecuaciones esencialmente distintas para la dinámica débilmente no lineal. Los efectos viscosos, en particular, dan lugar a problemas de perturbaciones singulares que producen efectos sorprendentes. Por ejemplo, los términos no lineales dan lugar a flujos medios que conducen a un transporte global de fluido que se añade a la deriva de Stokes (sorprendente en sí misma, por otro lado); los flujos medios viscosos involucran términos forzantes que no tienden a cero cuando la viscosidad se hace tender a cero. La dispersión domina a la difusión si la viscosidad es pequeña en el análisis de ondas progresivas, pero la dinámica débilmente no lineal de ondas de tipo standing (combinación de ondas progresivas contrapropagatorias) puede incluir efectos difusivos que provienen de la interacción de efectos viscosos no difusivos con términos de transporte con la velocidad de grupo.

  • Determinantes, métodos de Krylov y bifurcaciones en ecuaciones en derivadas parciales dependiente de un parámetro
    Bosco García Archilla (Universidad de Sevilla)
  • Los determinantes, obtenidos como subproducto de la eliminación gausiana, son usados como una herramienta robusta y eficiente para la detección de bifurcaciones en los métodos de continuación de puntos fijos de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el caso de ecuaciones en derivadas parciales (discretizadas) no existe una herramienta parecida si los sistemas lineales que aparecen durante la continuación se resuelven de forma iterativa. En esta charla estudiaremos el cálculo del signo del determinante de una matriz de dimensión elevada, obtenido durante la solución de los sistemas lineales mediante métodos de Krylov como GMRES, QMR, BiCGSTAB, etc. Usados con las debidas precauciones, algunos de estos métodos son suficientemente robustos como para detectar puntos de ramificación cuando se usan métodos de continuación para el computo de puntos fijos.

  • Cálculo de una forma normal alrededor de una órbita periódica multicrítica en un problema de Mecánica de Fluidos
    Juan Sánchez Umbría (Universitat Politècnica de Catalunya)
  • Se considerará un problema de convección térmica bidimensional en un recinto anular con gravedad radial y calentamieento desde el interior. Este problema es el modelo más sencillo de la convección columnar en atmósferas estelares y planetarias. Si se calculan las órbitas periódicas del problema se encuentra, para determinados valores de los parámetros, un punto de bifurcación de codimensión dos en el que la órbita periódica tiene, debido a las simetrías del problema, tres multiplicadores de Floquet +1 además de otros dos debidos a las invariancias por traslaciones en tiempo y rotaciones respecto del centro del anillo. Se mostrará cómo es posible hacer un análisis débilmente no lineal, obteniendo una ecuación reducida, válida cerca de la órbita periódica, mediante un método perturbativo, que es una extensión del método de Lidstedt-Poincaré, y mediante la aplicación de condiciones de solubilidad. Se compararán los resultados obtenidos a partir la ecuación reducida con los obtenidos directamente del sistema de ecuaciones en derivadas parciales.

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Sesión 3: Despliegue y bifurcaciones de equilibrios degenerados
Responsable: Santiago Ibáñez (Universidad de Oviedo)

Resumen

En esta sesión se discutirá sobre los problemas de clasificación y despliegue de singularidades de campos de vectores.

Con respecto a la clasificación se presentará su estado actual y se tratarán diferentes líneas abiertas, no sólo relativas a las posibilidades de continuación del proceso de clasificación, sino también a las cuestiones que surgen ligadas a las propias técnicas empleadas: formas normales y explosión de singularidades.

La discusión sobre despliegues se centrará en singularidades tridimensionales, motivando este interés particular por el objetivo de relacionar la aparición de comportamientos caóticos en un sistema con la presencia de centros organizadores locales (singularidades). Cuestiones relacionadas con bifurcaciones globales que surgen ligadas a dinámicas locales serán también abordadas. Las referencias a aplicaciones estarán presentes en las discusiones.


Conferencias
  • Singularidades y despliegues
    Santiago Ibáñez Mesa (Universidad de Oviedo)
  • Se presentará en términos formales el problema general de clasificación y despliegue de singularidades. Con respecto a la clasificación de singularidades se apuntará uno de los principales problemas abiertos: la determinación de jets no estabilizables de codimensión mínima. La discusión sobre despliegues de singularidades se centrará en los problemas tridimensionales, motivándola por el objetivo de relacionar la posible dinámica caótica de un sistema con la presencia de centros organizadores locales. Como conclusión se plantearán las líneas de trabajo que pueden ser más interesantes en el futuro.

  • Estudio cualitativo del equilibrio mediante explosiones
    Clementa Alonso González (Universidad de Alicante)
  • Presentaremos cómo el estudio del efecto de las explosiones de punto sobre un sistema dinámico tridimensional con un punto de equilibrio permite dar, en ciertos casos, una descripción cualitativa del mismo cerca de la singularidad. Para equilibrios degenerados con reducción de singularidades hiperbólica, determinados invariantes de naturaleza geométrica (caminos y lugar crítico) que dependen de los autovalores, permiten reconstruir un representante del campo equivalente a la parte lineal en el caso de singularidades hiperbólicas. Si la resolución de singularidades no es hiperbólica, se obtienen configuraciones que previsiblemente permitirán la construcción de jets no estabilizables. Nos proponemos encontrar la codimensión mínima para que este fenómeno sea posible. Por otro lado, relacionaremos el problema de detectar ejes de giro en espiral y comportamientos oscilantes después de explosión con el de exhibir dinámicas que se acumulen sobre el divisor excepcional de alguna forma no contemplada por el Teorema de Poincaré-Bendixon.

  • ¿Qué puede aportar el estudio de las bifurcaciones globales al análisis de las degeneraciones?
    Fernando Fernández Sánchez (Universidad de Sevilla)
  • Las pruebas de existencia de conexiones globales son escasas y de gran dificultad. Un camino para abordar este problema es el estudio de algunas bifurcaciones locales. De hecho, todos conocemos el análisis de la bifurcación de Bogdanov-Takens y cómo surge de ella, en un espacio biparamétrico, una curva de conexiones globales. La dinámica, en este caso, no es muy compleja ya que, al ser una singularidad con variedad de centros bidimensional, el carácter plano de la conexión global determina un comportamiento en su interior y otro en su exterior que son fácilmente determinables. En los estudios de los desplegamientos de singularidades con variedad de centros tridimensional, como pueden ser la "Hopf-cero" y la nilpotente de codimensión tres (también llamada a veces "triple cero"), el análisis de la dinámica asociada a las conexiones globales es mucho más complicado, ya que aparecerán comportamientos típicamente tridimensionales. En cualquier caso, si en un cierto despliegue de una singularidad se prueba la existencia de una bifurcación global, toda la dinámica organizada por ésta también estará presente. Por todo ello, en la charla, nos centraremos en un cierto tipo de ciclo heteroclino de codimensión dos que aparece en el despliegue de la singularidad nilpotente de codimensión tres. Describiremos las técnicas usadas para su estudio y mostraremos parte de la rica dinámica que organiza.

  • Escisión de una órbita heteroclínica y sistema inner en despliegues de la singularidad Hopf-zero
    Tere M. Seara (Universitat Politècnica de Catalunya)
  • Un problema clásico en el estudio de los despliegues conservativos de la singularidad "Hopf-cero", es el cálculo asintótico de la escisión de la órbita heteroclínica existente en la forma normal simétrica a lo largo del eje de simetría. En esta presentación mostraremos el problema con detalle y enfatizaremos la dificultad de dicho cálculo, al ser éste exponencialmente pequeño respecto al parámetro de despliegue. Derivaremos el sistema "inner" asociado al problema estudiado, que es un sistema independiente de parámetros. Probaremos la existencia de dos soluciones de este sistema relacionadas con la variedad estable y inestable de dos puntos hiperbólicos presentes en el despliegue. Asimismo, daremos una fórmula asintótica de su diferencia. Podremos verificar que, en el caso regular, obtenido restringiéndonos a algunos despliegues degenerados, esta fórmula coincide con la predicción dada por el método clásico de perturbaciones llamado método de Melnikov. Sin embargo, en el caso de despliegues genéricos, cuyo estudio se engloba dentro de la teoría de perturbaciones singulares, los resultados obtenidos para el sistema inner indican que dicho cálculo perturbativo es falso, y que la condición que garantiza la escisión de la órbita heteroclínica depende de todo el jet del despliegue.

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Sesión 4: Dinámica molecular
Responsable: Florentino Borondo (Universidad Autónoma de Madrid)

Conferencias
  • Dinámica no lineal de vibraciones moleculares
    Rosa María Benito (Universidad Politécnica de Madrid)
  • RESUMEN: Los fenómenos de vibración molecular, en los que se mueven de forma colectiva todos los núcleos de una molécula en el potencial creado por su nube electrónica, son de una gran relevancia en muchos procesos intramoleculares, como por ejemplo la transferencia de energía entre enlaces o incluso la reactividad química. Además, pueden ser estudiados con mucho detalle gracias a las modernas técnicas espectroscópicas o de Femtoquímica. Desde este punto de vista, las moléculas pueden considerarse como sistemas dinámicos hamiltonianos no integrables, compuestos por una colección de osciladores anarmónicos acoplados. Sin duda, una comprensión detallada de la dinámica no lineal subyacente, en la que se conozcan adecuadamente tanto las rutas de acoplamiento entre modos como su eficiencia relativa, podría abrir en un futuro próximo las puertas a una verdadera Química Selectiva con Láser, donde se aproveche la intensidad y precisión de estos últimos dispositivos para utilizarlos como un bisturí que permita romper las moléculas selectivamente por ciertos canales preferenciales que desemboquen en los productos de reacción deseados (o evitar otros no deseables). En esta conferencia se pasará revista a las bases del estudio clásico de la dinámica de moléculas triatómicas descritas por potenciales realistas, haciendo especial énfasis en la estructura del correspondiente espacio de fases y sus implicaciones químicas.

  • Aspectos cuánticos de la dinámica caótica
    Florentino Borondo (Universidad Autónoma de Madrid)
  • RESUMEN: Aunque la dinámica clásica es capaz de explicar muchos de los fenómenos que tienen lugar en la naturaleza, incluso a nivel microscópico, cuando se estudian sistemas atómicos, moleculares o mesoscópicos es imprescindible, en general, tener en cuenta los efectos derivados de la Mecánica Cuántica. Esta introduce fundamentalmente dos características (de alguna manera) relacionadas: la cuantización de la acción y los efectos ondulatorios (ondas de De Broglie) de interferencia. Nos proponemos hacer una revisión de estos conceptos dentro del marco de las ideas de la dinámica no lineal, introduciendo entre otras herramientas las representaciones cuánticas del espacio de fases. Como se verá existe una dicotomía fundamental entre lo que ocurre cuando el comportamiento dinámico es regular o cuando es caóticos. En el primer caso, la conexión entre las mecánicas clásica y cuántica está bien entendida en términos de las reglas de cuantización de Einstein, Brillouin y Kramers (EBK) para los toros invariantes. En el segundo, el problema es más complicado debido a la no existencia de estos. Sin embargo, se desarrolló en los años 1970 una teoría (dinámicamente atractiva) que se basa en las órbitas periódicas (¡!) del sistema. (En este punto, hay que resaltar que no existe en la actualidad un criterio universalmente aceptado para la versión cuántica del caos clásico.) También se pondrá de manifiesto la relevancia de otras estructuras invariantes importantes como son las conexiones homo y heteroclínicas.

  • Estudio de la transferencia intramolecular de energía mediante el mapa de frecuencias
    Juan Carlos Losada (Universidad Politécnica de Madrid)
  • RESUMEN: Los procesos dinámicos que tienen lugar en una molécula aislada son fundamentales para determinar la reactividad de las mismas, que es el fin último de cualquier teoría química. A este respecto, determinar cuales son los modos que se acoplan de una forma eficiente, a través de resonancias de Fermi, y como la energía fluye a su través, es una tarea importante en la Dinámica Molecular. A este respecto, el método del mapa de frecuencias, originalmente desarrollado en el campo de la Mecánica Celeste, es de una especial relevancia, sobre todo si se tiene en cuenta que permite abordar el estudio de sistemas Hamiltonianos con más de dos grados de libertad. En la reunión se presentarán ejemplos para diversas moléculas triatómicas (LiCN, HCP, OH2, etc.), construyendo la correspondiente red de Arnold y discutiendo la difusión asociada y sus implicaciones dinámicas.

  • La estadística de niveles de energía como criterio del caos cuántico
    Luis Seidel (Universidad Politécnica de Madrid)
  • RESUMEN: Ciertos autores "han negado" la existencia de caos cuántico basándose en el hecho de que la ecuación de Schrödinger propaga los errores en la función de onda de forma lineal. Lo cierto es (o al menos, así lo creemos) que la función de onda es el elemento fundamental de la mecánica cuántico sólo en una de sus representaciones, mientras que en otras ese papel lo asumen, por ejemplo, los operadores. Así pues, a la hora de buscar criterios cuánticos del caos parece lícito explorar la sensibilidad extrema a pequeñas variaciones en otras magnitudes físicas. Uno de los criterios de caos cuántico más generalmente aceptado es el de la estadística de niveles de energía. La idea es sencilla, la imagen más intuitiva de un operador, el hamiltoniano por ejemplo, en un sistema caótico sería la de una matriz (su representación en una base de funciones dadas) llena de números aleatorios. Las propiedades estadísticas de estos objetos son fácilmente estudiables y se han relacionado con propiedades universales de los sistemas dinámicos caóticos. En esta contribución se presentará una introducción a los principios, herramientas y algunos ejemplos representativos en sistemas moleculares de esta técnica.

  • Nuevos métodos para el estudio del caos cuántico
    Francisco Javier Arranz (Universidad Autónoma de Madrid)
  • RESUMEN: Se discutirán dos herramientas para el estudio del caos cuántico que han sido ampliamente desarrolladas en nuestro laboratorio. La primera consiste en el análisis de los ceros de la función de Husimi, probablemente la representación cuántica en el espacio de fases más útil y empleada en el campo. La segunda consiste en la utilización de diagramas de correlación, en los que se refleje la variación de las autofunciones o magnitudes derivadas (autoenergías, por ejemplo) con un parámetro del sistema. Ambas técnicas, especialmente si se usan de forma conjunta, poseen un gran potencial para elucidar las características y propiedades dinámicas de sistemas moleculares.

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Sesión 5: Singularidades en ecuaciones diferenciales resurgencias
Responsable: Felipe Cano Torres (Universidad de Valladolid)

Resumen

Muchos problemas de clasificación de ecuaciones diferenciales o en diferencias se realizan a través de conjugantes formales que, aun sin ser convergentes tienen una estructura de tipo Gevrey, sumable o resurgente. El análisis fino de esta estructura permite utilizar el álgebra de dichas funciones como herramienta principal para describir la clasificación analítica. Asimismo, hechos algebraico-geométricos como la teoría de Galois permiten comprender las propiedades dinámicas de ciertos problemas, por ejemplo en relación con la integrabilidad. En esta sesión pretendemos tres objetivos: por un lado dar una visión elemental del algebra de funciones resurgentes de J. Ecalle y de su potencial utilidad (C. Olivé), por otro lado poner en relación la dinámica holomorfa continua en dos variables (campos de vectores holomorfos) con la dinámica discreta dada por la iteración de automorfismos en dos variables, haciendo especial hincapié en la naturaleza del puente formal entre los dos problemas, así como en el trasfondo geométrico de la desingularización (F. Cano) y finalmente presentaremos ejemplos clásicos de sistemas dinámicos cuyas propiedades algebro-geométricas son clave a la hora de su integración (J. Morales).


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Sesión 6: Experimentación y aplicaciones
Responsable: Enrique Ponce (Universidad de Sevilla)

Resumen

En esta sesión se mostrarán diversos experimentos en los que se pondrán de manifiesto algunos fenómenos interesantes relacionados con la complejidad de comportamientos de los sistemas dinámicos.


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Tesis Doctorales recientes de miembros de la red
Responsable: Francisco Balibrea (Universidad de Murcia)

En estas sesiones se presentarán algunas tesis producidas recientemente en el marco de la red.

TESIS DOCTORALES
Critical points and periodic orbits of planar differential equations
María Jesús Álvarez (Universitat de les Illes Balears)
Operadores y Semigrupos de Operadores en Espacios de Fréchet y Espacios Localmente Convexos
José Alberto Conejero (Universidad Politécnica de Valencia)
Conjuntos omega-límite y entropía topológica de aplicaciones triangulares bidimensionales
Juan Luis García Guirao (Universidad de Murcia)
Modeling and numerical study of nonsmooth dinamical systems
Iván Merillas Santos (Universitat Politècnica de Catalunya)
Cálculo de la escisión de separatrices usando técnicas de matching complejo y resurgencia aplicadas a la ec. de Hamilton-Jacobi
Carme Olivé Farré (Universitat Rovira i Virgili)